(-1, -1) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নিম্নের কোনটি?

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\) কে পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta)\) এ রূপান্তরের জন্য সূত্রগুলো হলো:

১. ব্যাসার্ধ ভেক্টর \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

২. কোণ \(\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\) (কোয়ার্ড্রান্ট অনুযায়ী পরিবর্তিত হবে)

এখানে প্রদত্ত বিন্দুটি হলো \((-1, -1)\)। সুতরাং, \(x = -1\) এবং \(y = -1\)।

বিস্তারিত সমাধান:

১. \(r\) এর মান নির্ণয়:

আমরা জানি, \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

\(r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2}\)

\(r = \sqrt{1 + 1}\)

\(r = \sqrt{2}\)

২. \(\theta\) এর মান নির্ণয়:

বিন্দু \((-1, -1)\) তৃতীয় চতুর্ভাগে (3rd Quadrant) অবস্থিত, কারণ \(x\) ও \(y\) উভয়ই ঋণাত্মক।

প্রথমে রেফারেন্স কোণ (reference angle) \(\alpha\) নির্ণয় করি:

\(\alpha = \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|\)

\(\alpha = \tan^{-1}\left|\frac{-1}{-1}\right|\)

\(\alpha = \tan^{-1}(1)\)

\(\alpha = 45^\circ\)

যেহেতু বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত, তাই \(\theta\) এর মান হবে:

\(\theta = 180^\circ + \alpha\)

\(\theta = 180^\circ + 45^\circ\)

\(\theta = 225^\circ\)

সুতরাং, \((-1, -1)\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক হলো \(\left(\sqrt{2}, 225^\circ\right)\)।

বিকল্পগুলো যাচাই:

    
• বিকল্প 1: \(\left(\sqrt{2}, -45^\circ\right)\)। \(-45^\circ\) কোণটি চতুর্থ চতুর্ভাগে নির্দেশ করে।
    
• বিকল্প 2: \(\left(\sqrt{2}, 45^\circ\right)\)। \(45^\circ\) কোণটি প্রথম চতুর্ভাগে নির্দেশ করে।
    
• বিকল্প 3: \(\left(\sqrt{2}, 225^\circ\right)\)। \(225^\circ\) কোণটি তৃতীয় চতুর্ভাগে \((180^\circ < 225^\circ < 270^\circ)\) নির্দেশ করে। এটি সঠিক।
    
• বিকল্প 4: \(\left(\sqrt{2}, 135^\circ\right)\)। \(135^\circ\) কোণটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে নির্দেশ করে।